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，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您 。

《领悟数学思想方法 ，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》

——小学数学教学中渗透数学思想方法思考与实践

汇报：兆麟小学 农丰小学 兰陵小学

今天由我们三人汇报的题目是：《领悟数学思想方法
，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》

中国科学院院士 、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等 ，很简单
。但尽管简单
，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。 ”

数学知识和数学思想方法作为小学数学学习的两条线索，一明一暗 ，相互支撑
，其中数学思想方法提示了数学的本质和发展规律，可以说是数学的精髓 。下面我们就谈谈数学思想方法。

一
、为什么要在教学中渗透数学思想方法

1、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义

一位教育学家曾指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了 ，惟有深深铭记在头脑中的是数学煌精神和数学的思想 、研究方法、着眼点等
，这些随时随地发生作用使学生终身受益
。
”

数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生思维品质 ，对数学学科的后继学习
，对其他学得的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法 ，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键 。不仅能使学生领悟数学的真谛
，懂得数学的价值学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养
、智力的发展有机地统一起来
。

2．渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求

数学课程标准把“四基”：基本知识、基本技能 、基本思想
、基本活动经验作为目标体系。基本思想是数学学习的目标之一 ，其重要性不言而喻 。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来
，并运用操作、实验等直观手段解决这些问题
。从而加深学生对数学概念 、公式
、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质 ，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题 、解决问题能力的重要途径
，也是小学数学新课程改革的真正内涵之在。

二
、课教材渗透了哪些数学思想

小学数学中最上位的思想就是演绎和归纳，是数学教学的主线 。还有一些常用的数学思想方法：

对应思想、——是指对两个集合元素之间联系的把握
。许多数学方法来源于对应思想。比如学生在计算练习时常常有 10 ？

20 ×2 ？

30 ？

40 ？

50 ？

形式出现 ，这其实就体现了对应的思想 。如数轴上的一个点就对应一个数
，任何一个数都能在数轴上找到相对应的点，一一对应 ，呈现完美
。

符号化思想 、——数学发展到今天
，已成为一个符号的世界。英国著名数学家素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑 。 ”符号化思想即指人们有意识地
、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个小学都有较多的渗透，

例如：阿拉伯数字：1、2 、3、5
、6、……

+ 、–
、 、 等运算符号；

> 、<</SPAN>
、=、等表示关系的符号；

（ ） 、[ ] 等括号；

表示数的字母:x
、y、z等
。

字母表示公式：长方形 、正方形的面积S=ab S=a?

字母表示计量单位符号：m\cm\dm\mm\g\km等。

集合思想——把一组对象放在一起作为讨论的范围 ，这就是集合的思想 。如：一年级教材在教孩子认数的时候，用一个圈把一些图画圈在里面
，这就是孩子最初所接触到集合雏形，

也是第一次对小学生渗透这种集合思想
。在以后后的教学中慢慢体现并集
、差集、空集等思想。

极限思想——我国古代就对极限思想的思考 ，古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极奶子思想的典型 。极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想
，运用这一思想，人们的思维可以从有限空间向无限空间 ，从静态向动态发展
，从具体到抽象升华
。

统计思想——小学数学中的统计思想主要体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图 ，学生在会整理 、制表、作图的同时要能从数据
、图表中发现数学问题和数学信息
，得出相关的结论。、

假设思想——是先对题目标中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算 ，根据数量出现的矛盾
，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法 。

比较思想——是数学教学中常见的思想方法之一 ，也是促进学生思维发展的手段
。在数学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况
，可以帮助学生较快找到解题途径。

类比思想——是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想 。如加法交换律和乘法交换律 、长方形的面积公式
、平行四边行面积公式和三角形面积公式
。这种思想不仅使数学知识容易理解 ，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

转化思想——是一种形式变换成另一种形式的思想方法
，而其本身的大小是不变的 。如几何的等积变换、解方程的同解变换 、公式的变形等，在计算中也常用到。

分类思想——体现对数学对象的分类及其分类的标准如自然数的分类 ，三角形按边分按角分
。不同的分类标准就会有不同的分类结果
，从而产生新的概念。

数形结合思想——数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形 ，形离不开数
，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系 ，借助图形使之直观化
、形象化、简单化 。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示
。在解应用题中常常借助线段图的帮助分析数量关系。

代换思想——他是方程解法的重要原理
，解题时可将某个条件用别的条件进行代换 。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用504元 ，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？

可逆相思——它是逻辑思维中的基本思想
，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题的方法 ，有时可以代线段图逆推
。如：一辆汽车从甲地开往乙地
，第一小时行了1/7，第二小时比第一小时多行了16千米 ，还有94千米
，求甲乙之距。

化归思想方法——把有可能解决或示解决的问题，通过转化过程 ，归结为一类以便解决可较易解决的问题
，以求得解决，这就是“化归
” 。而数学知识联系紧密 ，新知识往往是旧知识的引申和扩展
。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题
，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

变中抓不变的思想方法——在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口 ，往往问了就迎刃而解，如：科技书和文艺书共630本
，其中科技书20%，后来又买来一些科技书 ，这时科技书占30%
，又买来科技书多少本？

数学模型的思想方法——是对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发 ，充分运用观察 、实验
、操作、比较 、分析等过程
，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法 。培养学生用数学的眼光认识和处理周围或数学问题乃数学的最高境界 ，也是学生高数学素养所追求的目标
。

这些数学思想方法是数学的本质之所在
、是数学的精髓
，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。下面我们就结合自己对数学思想方法的学习与实践 ，与大家一起交流 。

三 、让课堂彰显思想的魅力

首先说说备课：备课时要研读教材、明确目标
、设计预案
，充分挖掘数学思想方法　

如果课前教师对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。因此我们在备课时 ，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要进一步钻研教材
，创造性地使用教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法 ，并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法
，并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法有机地融合在数学知识的形成过程中
。其实 ，每册教材都有数学思想方法的渗透
，我们每册选取有代表性的单元。

这相对所有教学内容只是冰山一角 。为此，我在研读教材时 ，常常要多问自己几个为什么
，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，如：怎样让学生经历知识的产生与发展的过程？怎么样才能唤起学生进行深层次的数学思考？如何激发学生主动探究新知识的积极性？如何依据教材适时地渗透数学思想方法等等
。只有我自己做到胸有成竹 ，方能给学生渗透相应的数学思想。

2上课：创设情境、建立模型 、解释应用
，渗透数学思想方法

数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识 ，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法 。这就要求教师在课堂教学中，在揭示数学知识的形成过程中渗透数学思想方法
，在教给学生数学知识的同时，也获得数学思想方法上的点化
。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法 ，体现了教师在教学中的大智慧
，也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地。不同的教学内容，不同的课型 ，可据其不同特点
，恰当地渗透数学思想方法 。以下面三种课型为例
。

①新授课：探索知识的发生与形成，渗透数学思想方法

如在《三角形分类》一课中 ，教师给学生提供了三角形学具先放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类
，学生从关注三角形的角与边的特征入手，借助学具看一看
、比一比、量一量 、分一分
、想一想 ，寻找特征、抽象共性
，在比较中将具有相同特征的三角形归为一类，在分类中抽象出图形的共同特征。这样的教学 ，学生经历了三角形分类的过程，渗透了分类 、集合的思想
，丰富了分类活动的经验，形成分类的基本策略 ，发展了归纳能力 。

在数学教学中
，解题是最基本的活动形式
。任何一个问题，从提出直到解决 ，需要具体的数学知识
，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中 ，要精心挖掘数学的思想方法 。

如我在教学三年级“植树问题”时
，首先呈现：在一条100米长的路的一侧，如果两端都种 ，每2米种一棵
，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测 ，有的说种50棵，有的说种51棵。到底有几棵？我们能否从“种2
、3棵…… ”出发
，先来找一找其中的规律呢？随着问题的抛出，学生陷入了沉思
。如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树 ，每两棵树之间就有一个“间隔
”（板书）
，一共有几个间隔？学生若有所思地回答是4个。如果种6棵、7棵……，棵数与间隔的个数有怎样的关系呢？于是我启发学生通过动手摆一摆 、画一画
、议一议 ，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1）
，顺利地解决了上述问题 。然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案
。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时 ，不妨退到简单问题
，然后从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动 ，渗透了探索归纳 、数学建模的思想方法
，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用 。

因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑 ，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流
，深化对解题方法的认识
。

②练习课：经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法

数学知识的巩固 ，技能的形成
，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新授课的练习 ，新授课中的练习主要是为了巩固刚学过的新知
，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力 ，发展学生的思维能力 。因此教师要有数学思想方法教学意识
，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求
。例如在《6的乘法口诀》练习课中 ，学生在完成想一想
、算一算的练习中
，先让学生计算，再通过交流自己的算法 ，以“7×6+6 ”为例，借助用课件演示来理解式子的意义
，运用数形结合启发将式子转化为8×6来计算，渗透变换的思想 ，懂得两个式子形式虽不同
，表示的意义以及结果是相同的。又如让学生算一算每个图中各有多少个格子，之后教师要启发学生怎样将图形转化成同第一个图形那样的图形 ，可以直接用口诀计算？学生通过实际操作
，动手剪一剪、拼一拼，转化成长方形后分别用6×3 、4×3来计算 ，从而感受到转化思想的魅力 。

“咱们要教给孩子们什么？
”“数学的学习主要是学习思想和方法以及解题的策略”
，因此我们要在练习的过程中不断地总结和探索，从中寻找共性 ，呈现给孩子最有价值
、最本质的东西——数学思想方法
。

如我在教学四年级“看谁算得巧 ”一课时
，学生计算“1100÷25
”主要采用了以下几种方法：①竖式计算②1100÷25＝（1100×4）÷（25×4）③1100÷25＝1100÷5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25） ⑤1100÷25＝1100÷100×4 ⑥ 1100÷25＝1000÷25＋100÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引导学生比较上述方法的异同 ，结果发现方法①是通法，方法②——⑥是巧法 。方法②——⑥虽各有千秋
，方法③、④ 、⑥运用了数的分拆，方法②属等值变换 ，方法⑤类似于估算中的“补偿”策略
，但殊途同归，都是抓住数据特点 ，运用学过的运算定律
、性质转化为容易计算的问题。学生对各种方法的评价与反思
，就是去深究方法背后的数学思想，从而获得对数学知识和方法的本质把握
。

新课程所倡导的“算法多样化 ”的教学理念 ，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中
，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想 ，最终能灵活运用数学思想方法解决问题
，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。

③复习课：学会知识的整理与复习 ，强化数学思想方法

复习有别于新知识的教学 。它是在学生基本掌握了一定的数学知识体系、具备了一定的解题经验，学生基本认识了某些数学思想方法的基础上的复习数学
。数学思想方法总是隐含在数学知识中
，它与具体的数学知识结合成一个有机整体，但它却无法像数学知识那样编为章节来教学 ，而是渗透于全部的小学数学知识中。不同章节的数学知识往往蕴含着不同的数学思想方法
，有时在一章或一单元的教学中，又涉及很多的数学思想方法 。因此教师在上复习课前 ，教师要能总体把握教材中隐含的思想方法
，明确前后知识间的联系，做到“瞻前顾后
” ，并把数学思想方法的渗透落实到教学计划中
。复习时,除了帮助学生掌握好知识与技能
，形成良好的认知结构外，还必须加强数学思想方法的渗透 ，适时地对某种数学思想方法进行揭示 、概括和强化,对它的名称
、内容及其运用等予以点拨,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,逐步体会数学思想方法的价值。

数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性 。在课堂小结、单元复习和知识运用时
，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的 ，运用了哪些基本的思想方法等，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼
，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的价值
。

如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时 ，让学生写出各种平面图形（长方形 、正方形
、平行四边形、三角形 、梯形和菱形）的面积计算公式后提问：这些计算公式是如何推导出来的？每位同学选择1～2种图形
，利用学具演示推导过程，然后在小组内交流。交流之后我又指出：你能将这些知识整理成知识网络吗？当学生形成知识网络后（如下图） ，再次引导学生将这些平面图形面积计算 。如在复习多边形的面积推导时
，教师可引导学生思考：平行四边形、三角形
、梯形的面积计算公式各是怎样推导的?有什么共同点？让学生提炼概括：学习平行四边形面积计算时，我们应用割补法把它转化成学过的长方形来推导；学习三角形和梯形的面积计算时 ，我们用两个完全相同的图形来拼合或把一个图形割补转化成学过的图形来推导……经过系列概括提炼
，学生得出其中重要的思想方法——转化思想
。学生一旦掌握了数学思想方法，不仅能使学生的知识结构更完善 ，还特别有助于今后的学习和运用。因为掌握了数学的思想方法
，学生面对新的问题时将懂得怎样去思考，真正实现质的“飞跃 ” 。

（3）作业：掌握知识、形成技能 、发展智力 ，应用数学思想方法

精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径。把作业设计好，设计一些蕴含数学思想方法的题目
，采取有效的练习方式，既巩固了知识技能 ，又有机地渗透了数学思想方法
，一举两得
。为此教师布置作业要有讲究，在学生作业后 ，要不失时机地恰当地点评
，让学生不仅巩固所学知识
、习得解题技能，更重要的是能悟出其中的数学规律、数学思想方法。再如一位六年级老师布置了下面这道课后思考题 。

在作业讲评中 ，教师不仅要给出答案
，更重要的是启发学生思考：你是怎样算的？是怎么想的？其中运用了什么思想方法？ 结合上图引导学生概括出其中的思想与方法：类比思想 、数学建模思想
、极限的思想、数形结合的思想
。

（4）课外：培养兴趣 、增长见识
、培养能力，提升数学思想方法

学校开展数学课外活动是课内教学的重要补充。根据学生的学习水平在年段里开设有关数学思想方法内容的讲座 ，如果平时教学中的数学思想方法的点滴渗透是“美味点心”的话
，那么专题讲座对学生来说就是“丰盛大餐
”了，学生比较系统地了解了常见的数学思想方法以及应用 ，拓展学生的眼界；数学思想方法的渗透和数学课外实践活动相结合可以使二者相得益彰，定期开展数学实践活动可以发展学生的动手实践能力和创新意识
，发展学生应用数学思想方法解决问题的能力；定期开展数学智力竞赛，不但激发优生学习数学的积极性 ，也考察学生掌握数学思想方法的情况；学生编数学小报、出板报等活动
，可以增长学生见识，了解较多相关知识 。形式多样的数学课外活动 ，使数学思想方法潜移默化
，引导学生在学与用中提升了对数学思想方法的认识
。

如何在小学数学教学中渗透数学模型思想

浅谈极限思想在小学数学教学中的渗透

摘 要： 极限作为数学中常用的基本概念之一，是用以描述变量在一定变化过程中的极端状态 ，是一种将事物无限逼近某一状态的概念。极限思想是一种重要的数学思想
，是对数学知识的本质反映，是形象思维向抽象思维转化的纽带 。在学生学习数学知识的启蒙阶段对其渗透极限思想 ，不但可以提高学生的抽象思维能力
，而且有助于学生掌握学习数学的思想和方法，使他们受益终生
。本文阐述了极限思想在小学数学教学中渗透的必要性 ，并结合数学公式 、概念
、练习、总复习等教学案例，论述了极限思想在小学数学教学中渗透的途径及渗透过程中应注意的问题。

关键词： 小学数学教学 极限思想 渗透

一 、极限思想及其历史简介

17世纪微积分创立伊始
，无限概念便成为人们关注的主题 。无穷小的概念是微积分建立的一个基础，在研究物体运动变化时 ，先把它看做是可以无限减少的量
，这时它比零大，同时又把它看做零而忽略不计 ，即认为它是零
。数学家们为了消除这种矛盾
，进行了长期不懈的探索。19世纪法国数学家柯西比较完整地阐述了极限概念及其理论，在柯西的思想中 ，函数不会直接趋近于极限
，必须经过含有无穷小的表达式 。他把无穷小视为以零为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。在变化过程中 ，它的值可以是非零
，但它变化的趋向是“零 ”，可以无限接近于零
。柯西的极限论是一种潜无限的过程 ，而极限的完成又表现为实无限。可见，柯西的理论中潜无限与实无限在某种程度上达到了统一
，但柯西的极限定义中仍有许多不严格的地方，后经维尔斯特拉斯的进一步改进 ，终于用“ε-δ
”语言将其精确化了 。

二、极限思想在小学数学教学中渗透的必要性

在小学阶段学习的数学相对比较简单
，学生可能在走出校门后不到两年就将所学的数学知识淡忘了，但是 ，那些所学习到的数学思想和数学方法将牢记于心
，不管日后在工作中还是在生活中，都可以随时发挥作用
。所以 ，将数学思想和方法不断地渗透给学生
，才是学生掌握知识的关键。

在小学数学教材中，有很多知识点是与极限思维有关的 ，如自然数
、奇偶数和循环小数等涉及数量无限多的概念
，以及直线、射线 、角的边
、平行线的长度等涉及无限延伸性的几何概念等 。教师在教学过程中如能刻意挖掘，并适当地将其蕴涵的极限思想和方法渗透给学生 ，那么不仅可以让学生掌握知识点和开拓思维，而且可以让学生在以后的生活和工作中随时发挥作用
。

三、在小学数学教学中的渗透极限思想的重要途径

小学阶段的学生由于正处在身心发展的阶段
，是形象思维向抽象思维转化的阶段，对极限思想的理解具有局限性 ，但并不意味着在教学过程中要淡化对极限思想的渗透。在教学过程中
，教师可以利用推导公式的过程 、学习新概念的过程
、练习和总复习的过程对学生进行渗透，提高学生的抽象思维能力 。

（一）在推导公式的过程中渗透极限思想

在小学数学教学中 ，会涉及大量的关于数学公式的推导
，有些公式的推导就是运用的极限思维推导出来的，教师可以利用这一过程潜移默化地对学生进行渗透
。最典型的运用极限思想推导出公式的例子就是圆的面积。

案例一：教学“圆的面积”

在教学“圆的面积公式的推导 ”这节课时 ，教师往往让学生把一个圆连续对折
，在不断对折过程中，学生就可以发现：对折的次数越多 ，所得到对折后的图形越来越接近与三角形
，展开后，沿折痕把圆平均分成若干个近似等腰三角形 ，等腰三角形的两腰就是圆的半径，而底边就是圆周长的一部分 。在这个环节学生能够感受到由曲变直的过程
，领会从近似分割到无限细分的数学思维方法
。

在公式推导过程中，运用了“变曲为直
”、“化圆为方”极限分割思路。在有限分割的基础上让学生想象无限细分的最终状态 ，这样不但使学生能够牢记公式
，而且能将无限逼近的极限思想渗透到他们的脑海中 。

（二）在学习新概念的过程中渗透极限思想

新概念对于小学生来说是新接触的知识，是一个从无到有的过程 ，也是让学生对数学中的专业术语的认识与理解
，也为他们以后的学习奠定一定的基础。有些新概念中蕴含一定的极限思想，教师在教授的同时可以适当地渗透给学生 ，帮助他们更好地理解新概念
。

案例二：教学“循环小数的概念 ”

在教学“循环小数的概念
”这节课时
，它的概念性较强，同时在这节新课中也蕴含着极限的思想。在讲循环小数的概念之前教师往往会让学生讨论：0.999…和1哪个大？学过方程的学生可能会将0.999…设为x ，那么10x=9.99…
，10x=x+9，9x=9 ，那么x=1，所以0.999…=1 。那么没有学过方程的学生可以在一些算式当中找规律：1-0.9=0.1
，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001 ，1-0.999=0.0001…
，1-0.999…=？，这时学生就可以从这些算式中发现当小数部分的9增加一位时 ，其数值就多了一个0
，那如果0.999…中小数部分有无穷多个9，那么最终结果会无限趋近于0
。

（三）在练习过程中渗透极限思想

数学的学习一定离不开练习 ，练习是对所学知识的巩固和训练
，但是在练习中教师往往忽略了对学生数学思想和方法的训练，数学思想和方法的形成是需要不断积累 、不断应用达成的。所以培养学生的数学思想和方法不仅需要老师在讲授新课过程中潜移默化地渗透 ，而且要在练习过程中不断巩固和训练 。

从图中可以直观地看出随着分数分母不断增加
，正方形所划分的空间越来越小，而空白部分的面积越来越大 ，大到不断逼近正方形的面积1，那么当有无穷多项相加时
，其结果趋近于1
。

（四）在总复习过程中渗透极限思想

总复习是把前面学过的相对独立及零散的知识点聚集起来，以回顾
、归纳、总结等方式梳理知识点 ，形成知识网
，明确各个概念之间的联系，使数学知识在学生头脑之中更加完整化 、条理化和系统化。

案例四：教学“平面图形的整理与复习”

在这节课中 ，教师把学生所学过的平面图形罗列出来
，包括长方形
、正方形、平行四边形 、三角形、梯形及圆，对它们的特点进行分析 。如果借助极限思想以梯形的面积公式为核心进行梳理 ，那么又该如何推导出其他图形的面积公式呢？梯形面积公式：S=（上底+下底）×高÷2
，假设让梯形的上底无限趋近于0，那么所得的图形近似于三角形 ，S=下底×高÷2
，即三角形的面积公式：S=（上底+下底）×高÷2
。同理，把长方形两腰趋向垂直于底
、正方形的四条边趋近于相等、平行四边形党的上下底边趋于相等 ，都可以推导出各平面图形的面积公式。

S=（a+b）h÷2

通过构建知识网络系统图，使学生对所学过的平面图形的面积公式有了更深刻的理解
，让学生知道解决问题并不只有一个方法，帮助学生形成较完整的认知结构 ，使极限思想潜移默化地印在学生的头脑之中 。

四 、极限思想在小学数学教学中渗透的注意问题

在小学阶段
，学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱，而极限思想的逻辑性和抽象性都很强 ，小学生不易理解
。首先
，在教学过程中教师要由浅入深，从具体到抽象 ，从感性到理性
，根据学生在学习各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透 ，螺旋上升。其次
，极限思想方法不像一般数学知识那样，通过几节课的学习就可以掌握 。只有通过不断循序渐进和反复训练 ，才能使学生真正有所领悟。最后，教师要努力挖掘教材中可以进行极限思想渗透的知识点
，将极限思想融合于小学数学教学之中
。

参考文献：

[1]李军.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].黑龙江教育，2008.

[2]于雅洁.极限思想在小学数学教学中的渗透[J].课程教育研究（新教师教学） ，2013.

[3]王宪昌.数学思维方法[M].人民教育出版社
，2004.

[4]李至艳.极限思想在小学数学中的渗透[J].小学教学研究，2009.

[5]邹煊享.小学数学教学建模[M].广西教育出版社 ，2003.

如何在教学中渗透数学思想

一
、在创设情境时
，感知数学建模思想。情景的创设要与社会生活实际，时代热点问题 ，自然
，社会文化等与数学有关系的各种因素相结合 。激发学生的兴趣，使学生用积累的生活经验来感受其中隐含的数学问题 ，从而促进学生将生活问题抽象成数学问题
，感知数感

知数学模型的存在
。学习数学的起点是培养学生以数学眼光发现数学问题，提出数学问题。

在教学中教师就应根据学生的年龄及心理特征 ，为儿童提供有趣的、可探索的 、与学生生活实际密切联系的现实情境，引导他们饶有兴趣地走进情境中
，去发现数学问题，并提出数学问题 。

二
、在探究知识的过程中 ，体验模型思想
。

善于引导学生自主探索、合作交流
，对学习过程 、学习材料
、主动归纳。力求建构出人人都能理解的数学模型 。

例如：在推导圆柱体积公式一节课中，教师要有目的让学生回顾平行四边形 ，三角形、

梯形 、圆几种平面图形面积的推导过程是怎样的？学生会想起通过割
、补、平移 、旋转等方

法拼成学过的图形
，那么今天我们要探究的是圆柱的体积，你们怎样来推导它的公式？这样

学生很自然的想到一个新知识都是用旧知识来分解 ，从中找到新知识的内在模型
。

三、新知识的结论
，就是建立数学模型。

加法，减法 ，乘法
、除法之间的内在联系 。各类应用题的解题规律
，各类图形的周长

与面积、体积的公式都是各种数学模型，学生有了这种模型思想才能应用它解释生活中的现

实问题
。

在解决问题中 ，拓展应用数学模型。用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值
，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学解决问题的能力 ，让学生体验实际应用带来的快乐 。

例如:我在教学“平行四边形面积的计算 ”时
，采用了探究式的学习方法，使学生在获取数学知识的同时 ，数学思维和学习能力也得到了培养。

1.让学生充分参与与操作活动

数学知识具有抽象性
，但来源于生活实际，加强教学中的实践活动 ，不仅有助于学生理解抽象的数学知识
，而且可以通过让学生参与操作活动，促进学生的思维发展
。如：在探究

平行四边形面积的计算方法时 ，我为学生设计了这样的操作活动：让他们通过剪一剪
，拼一拼，想办法把平行四边形转化为已学过的图形 ，然后利用已有知识来推导它的面积计算方法，这就为学生创设一个“做数学
”的机会
，学生在操作前必须动脑思考，想好了才能动手剪拼 ，通过实际操作
，多数学生都将平行四边形剪拼成了长方形，这样学生在积极参与操作活动的过程中 ，不仅促进了他们的思维发展
，而且提高了他们的操作技能。

2.让学生积极参与交流活动

四 、解释与应用中体验模型思想的实用性 。

如在学生掌握了速度
、时间、路程之间关系后，先进行单项练习 ，然后出示这样的变式题：

1.汽车3小时行驶了270千米
，5小时可行驶多少千米？

2.飞机的速度是每小时900千米，飞机早上11：00起飞 ，14：00到站
，两站之间的距离是多少千米？

学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习 ，学生基本能正确解答，

说明学生对基本数学模型已经掌握
，并能够从3小时行驶了270千米中找到需要的速度，从11：00至14：00中找到所需时间
。虽然两题叙述不同 ，但都可以运用同一个数学模型进行解答。掌握了数学模型
，学生解答起数学问题来得心应手 。

综上所述，数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程 ，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程
。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透
，可以使学生感觉到利用数学建模的思想解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。这也给我们一些启发：在对学生进行模型思想渗透时 ，要从现实生活出发
，从实物出发，这样才可以让学生更快地接受 ，

更快地理解；在渗透这些思想时
，教师首先需站在更高的高度上去考虑；在教学过程中，通

过引导学生处理问题 ，可以让学生更快 、更有兴趣地跟踪教师的思路 。在小学数学教材中，

模型无处不在
。小学生学习数学知识的过程
，实际上就是对一系列数学模型的理解
、把握的

过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想 ，帮助小学生建立并把握有关的数学模型
，

有利于学生握住数学的本质 。通过建模教学，培养学生应用数学的意识和自主、合作 、探索
、

创新的精神 ，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础
。因此在数学课堂教学中
，逐步培养

学生数学建模的思想，形成学生良好的思维习惯和应用数学的能力。

如何在教学中渗透数学思想

数学思想方法是解决数学问题所采用的方法 。它是数学概念的建立 、数学规律的归纳
、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中 ，最有用的不仅仅是数学知识
，更重要的是数学思想方法
。小学数学中常用的数学思想方法有数形结合思想方法、对应思想方法 、符号化思想方法、化归思想方法等。下面我就如何向学生渗透这些数学思想方法分别举例说明 。

1数形结合的数学思想方法
。

数和形是数学研究的两个主要对象，两者既有区别 ，又有联系
，互相促进。所谓数形结合的思想方法就是通过具体事实的形象思维过渡到抽象思维的方法 。数形的结合是双向的，一方面 ，抽象的数学概念
、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化 、简单化；另一方面
，复杂的形体可以用简单的数量关系表示
。用图解法分析问题就是运用这种方法。我从二年级开始就教学生画线段图分析应用题的数量关系 。例如《现代小学数学》第三册的例题：“南庄小学秋季种树53棵，比春季多种8棵
。春季种树多少棵？”先让学生找到关健句 ，弄清谁与谁比
，谁多谁少，画出线段图：

这样做学生比较容易找到数量关系 ，列出正确版式
，同时有克服见“多 ”就“加”，见“少
”就“减”的思维定势。

2对应的思想方法 。

对应是人们对两上集合元素之间的联系的一种思想方法
。为此在教学中 ，我充分发挥教材优势
，结合教学内容逐步渗透“对应 ”的数学思想方法。例如《现代小学数学》第一册的“多和少
”，课本先出示散乱排列的等量的茶杯和茶杯盖图 ，接着重新排列整理
，使每一个茶杯盖与每一个茶杯对应，直观看到“茶杯与茶杯盖相比 ，一个对一个，一个也不多
，一个也不少”，我们就说茶杯与茶杯盖同样多 。使学生初步接触一一对应的思想 ，初步感知两个集合的各元素之间能一一对应
，它们的数量就是“同样多 ”。

3符号化数学思想方法
。

数学的一个突出特点是符号加逻辑。而符号化思想是数学信息的载体，能大大简化运算或推理过程 ，加快思维的速度
，提高学习效率 。因此在教学中，要尽量把实际问题用数学符号来表达 ，还要充分把握每个数学符号所蕴含的丰富内涵和实际意义
。例如《现代小学数学》中关于“1
”的认识
，先让学生从1架飞机
、1棵树、1个女孩等具体事物中，概括出数字符号“1” ，从具体的量到抽象的数。然后再从抽象的数学符号“1 ”到具体量
，让学生列举表示“1
”的具体事物，1把椅 、1顶帽子
、1件衣服……… 。

又如 ，教学“小于和大于”一课，从左右相等的积木的左端拿一个积森到右端
。

这时右边的积木块数增多
，“= ”右边开口张大；左边积木数减少，“=
”左边的开口缩小 ，边说边用左手的食指、中指摆成一个小于号
，使学生认识小于号。再用同样的方法认识“大于号” 。直观形象地引导学生掌握表示大小关第的符号，从中渗透符号化数学思想方法
。

4“化归 ”的数学思想方法。

化归思想能增长学生智慧与创造能力 ，是数学中最普遍使用的一种思想方法 。即先挖掘内在联系
，把问题A转化为熟悉的问题B，再通过问题的解决方法去获得问题A的解
。这样做能把问题化难为易 、化生为熟
、化繁为简、化整为零 、化曲为直 ，可以促使学生提高解决问题的速度。

例如第四册《思维训练》例1
，计算一个乒乓球重多少克？

本题直接求解较难 。我从数学思想方法的角度去引导学生将奁
、右各种球一一对应进行比较：

得出：左右两图的足球、羽毛球的个数相等，乒乓球个数不等 ，右图的乒乓球个数比左图的多2个
，引起右边重了6克，从而把问题化归为“两个乒乓球重6克 ，一个乒乓球重多少克？”这样一个非常简单的算术问题，学生很容易就解决了。

实践证明
，在教学中，如果我们注意从数学思想方法的角度去启发 、引导学生思考 ，就会使学生对新知识不但能快速学会
，而且能加深理解、应用，从而提高解决问题的能力 ，发展学生的思维能力
。

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